1. Reklam


    1. joysro
      ledas
      jungler
      keasro
      zeus
      karantina

Permütasyon & Olasılık


  1. Wrestler

    Wrestler Old School olduser rank8

    Kayıt:
    20 Ekim 2007
    Mesajlar:
    986
    Beğenilen Mesajlar:
    0
    Ödül Puanları:
    0
    Permütasyon ve Olasılık
    PERMÜTASYON AMAÇ:Permütasyonla ilgili temel kavramları kullanabilme becerisi
    Olasılık Amaç:Olasılık ve olasılıkla ilgili temel kavramlar bilgisi
    Planlama:Permütasyon ve olasılık kavramı
    1)Permütasyon
    A)Genel çarpma özelliği
    B) Permütasyon
    1) ”n” elemanlı bir kümenin n’li permütasyonu
    2) “n”elemanlı bir kümenin r’li permütasyonu
    3)Dairesel permütasyon
    2)Olasılık:
    A)Olay ve olasılık tanımı
    B)Ayrık iki olayın olasılığı (A veya B’nin olasılığı)
    C)Aynı zamanda geçekleşen bağımsız iki olayın olasılığı(A ve B’nin olasılığı)
    İşleniş
    Permütasyon ( Büyük )
    a) Saymanın Temel İlkesi ( Genel Çarpma Özelliği )
    ÖR: Ahmet’in iki değişik pantolonu üç değişik renk gömleği vardır.Ahmet gömlek ile pantolonunu kaç değişik biçimde giyebilir.
    ÇÖZÜM: Ahmet’in değişik renk gömlekleri G1,G2,G3 ve pantolonları da P1,P2 olsun.
    Ahmet bu giysileri aşağıda gösterilen biçimlerde giyebilir.
    1. Giyinme => G1 P1
    2. Giyinme => G1 P2
    3. Giyinme => G2 P1
    4. Giyinme => G2 P2
    5. Giyinme => G3 P1
    6. Giyinme => G3 P2 biçiminde giyebilir.
    Ahmet’in giyinişi 6 değişik biçimde olmaktadır. Bunu kısaca,

    Gömlek Pantolon
    3 tane 2 tane
    3 x 2 = 6 şeklinde buluruz.

    Ardışık iki işlemden biri, a değişik yoldan yapılabiliyor. Bu yollardan herhangi biri kullanıldıktan sonra, ikinci bir işlem b değişik yoldan yapılabiliyorsa, ardışık iki işlem a x b değişik yoldan yapılabilir.
    Bu özelliğe “Saymanın Temel İlkesi “ yada “ Genel Çarpma Özelliği” denir.

    ÖR: A= ( 1,2,3,4,5 } kümesinin elemanları ile rakamları farklı üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir.

    Y O B



    4 X 3 X 2 = 24 değişik çift sayı yazılabilir.


    ÖR: A= ( 0,2,3,4,5 } kümesinin elemanlarını kullanarak 5 ile bölünebilen kaç tane 3 basamaklı tek sayı vardır.


    Y O B




    4 X 5 X 1 = 20 tane sayı yazılabilir.

    FAKTÖRİYEL


    n C N olmak üzere,
    1.2.3. _ _ _ _ _ .n
    çarpımına n faktöriyel denir ve

    n! = n .(n-1).(n-2)._ _ _ _ _ .3.2.1 biçiminde ifade edilir.

    0! = 1
    1! = 1
    n! = n.(n-1)! Olarak tanımlanır.


    ÖR:

    4! = 4.3.2.1 = 24
    5! = 5.4.3.2.1 = 120
    15! 15.14.13!
    13! 13! = 15.14 = 210

    4) 8!+9! 8.7!+9.8.7! 7! (8+9.Cool
    7! 7! 7!

    8+72 = 80

    4!. ( n – 1 )!
    n! = 6 => n = ?

    4! . ( n-1 )!
    n! = 6 =>

    ( 4.3.2.1 ) . ( n-1)! = 6 . n!

    24. ( n-1)! = 6.n. ( n-1 )!

    n 24. ( n-1 )! n = 4
    6 . ( n-1 )!

    PERMÜTASYON


    Bir kümenin elemanlarının belli bir sıraya göre dizilişlerinin her birine bir permütasyon denir.


    ÖR:


    A = ( 1,2,3 } kümesinin permütasyonlarını yazalım.
    ( 1,2,3 ) ( 2,3,1 )
    ( 1,3,2 ) ( 3,1,2 )
    ( 2,1,3 ) ( 3,2,1 )

    n elemanlı bir kümenin n’li permütasyonlarının sayısı P(n,n) şeklinde gösterilir.P(n,n) ifadesi, n’den 1’e kadar ardışık doğal sayıların çarpımıdır.

    Yani; P( n,n ) = n! ‘dir.


    ÖR: “Ahmet” kelimesinin harfleri ile, 5 harfli anlamlı yada anlamsız kaç kelime yazılabilir.

    P ( 5,5 ) = 5!
    = 5.4.3.2.1
    = 120 bulunur.


    “n” Elemanlı Bir kümenin “r” li Permütasyonları

    “n” ve “r” birer sayma sayısı ( n > r ) olmak üzere , n elemanlı bir kümenin elemanlarının r’li sıralanışına, “ n elemanlı kümenin r’li permütasyonu “ denir.ve
    P ( n,r ) şeklinde gösterilir.
    P ( n,r ) permütasyonlarının sayısı,


    P ( n,r ) = n! İfadesi ile bulunur.
    ( n-r )!

    Başka bir ifadeyle P ( n,r ) permütasyonlarının sayısını bulmak için, n’den geriye doğru, r tane ardışık çarpan çarpılır.


    ÖR:

    1) P ( 5,2 ) 5! 5.4.3! = 20
    ( 5-2 )! 3!



    2) P ( 7,3 ) 7! 7.6.5.4! = 210
    ( 7-3 )! 4!


    3) P ( 6,1 ) 6! 6.5! = 6
    ( 6-1 )! 5!


    ÖR:

    P ( 5,3 ) = 5.4.3 = 60
    P ( 6,2 ) = 6.5.4.3.2 = 720
    P ( 7,4 ) = 7.6.5.4 = 840


    ÖR: 5. P( n,3 ) = 2. P( n+1,3 ) eşitliğinde n’nin değeri kaçtır?

    ÇÖZÜM:


    5.n ( n-1 ). ( n-2 ) = 2.( n+1 ) n . ( n-1 )

    5.( n-2 ) = 2 ( n+1 )

    5 n-10 = 2 n+2

    5 n –2n = 2+10

    3 n = 12

    n = 4

    Dönel (Dairesel ) Sıralama

    “n” elemanlı bir kümenin elemanlarının, bir çemberin noktaları üzerinde birbirine göre farklı dizilişlerinden her birine,”dairesel permütasyon “ denir.
    “n” elemanlı bir kümenin elemanlarının, bir daire üzerinde değişik biçimde dairesel permü-
    tasyonlarının sayısı,

    ( n-1 )! Tanedir.

    ÖR: 7 kişi, yuvarlak bir masanın etrafında kaç değişik şekilde oturabilir?

    ÇÖZÜM:
    Bir kişinin yeri sabit tutulursa;

    Oturuş sayısı = ( 7-1 )!
    = 6!
    6.5.4.3.2.1 = 720 bulunur.

    ÖR:

    Bir okulda, 3 yönetici ile 5 öğretmen vardır. Yöneticiler yan yana olmak üzere, 8 kişi yuvarlak bir masanın etrafına oturacaklardır. Oturuş biçimi kaç farklı biçimde olabilir?

    ÇÖZÜM:

    Yöneticiler bir arada olacağı için, üç yöneticiyi bir kişi gibi kabul edelim.
    Bu duruma göre, yuvarlak masanın etrafına 1+5 = 6 kişi oturuyormuş gibi düşünebiliriz. Ancak,3 yönetici de kendi aralarında 3! Kadar farklı biçimde otururlar.

    Buna göre, farklı oturuş biçimi,

    3!.( 6-1 )! = 6 .120 =720 değişik biçimde olur.


    OLASILIK


    Olasılık, rastlantı yada kesin olmayan olaylarla uğraşır. Rastlantı; sonucu önceden bilinmeyen, gerçekleşmesi şansa bağlı olaylardır.
    Örneğin; bir parayı havaya attığımızda, yazı mı yoksa tura mı geleceğini deney yapmadan bilemeyiz.

    . Bir deneyde çıkan sonuçların her birine “ olay “denir. Yapılan bir deneyde, elde edile-
    bilecek tüm çıkanların kümesine “örnek uzay”veya “ evrensel küme “ adı verilir. Büyük “E”harfi ile gösterilir.

    . Bir olay her zaman olabiliyorsa buna “kesin olay”; hiç gerçekleşmiyorsa buna da “imkansız olay” denir.

    . Bir E örnek uzayının her elemanının elde edilme olasılığı eşit ise bu E örnek uzayına “eş olumlu örnek uzay “ denir.

    Eş olumlu örnek uzayına ait bir A olayının olasılığı P( A ) biçimde gösterilir.

    A C E olayı için,

    P( A ) = s( A)
    s( E ) dir.

    ÖR:

    Bir zar atıldığında,üste gelen yüzünün asal sayı olma olasılığı nedir?
    ÇÖZÜM:
    Evrensel küme E = ( 1,2,3,4,5,6 }
    Olay A = ( 2,3,5 } dir.

    A olayının olasılığı : P( A ) s( A ) 3 1
    s( E ) 6 2
    ÖZELLİKLER


    Bir olayın olasılığı, sıfır ile bir arasında bir sayıdır.

    0 < P( A ) < 1
    P( A ) = 0 => böyle bir olaydan söz edilemez.(İmkansız olay )
    P( A ) = 1 => olasılık tamdır.( Kesin olay )
    Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1’e eşittir.
    P( A ) + P( A‘) = 1 dir.


    ÖR:
    Bir torbada,aynı büyüklükte 3 kırmızı, 4 beyaz, 5 mavi bilye vardır. Torbadan rasgele bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin beyaz olma olasılığı nedir?

    ÇÖZÜM:

    Örnek uzayın eleman sayısı,

    s( E ) = 3+4+5 = 12 dir.

    Beyaz bilye çekme olayı B olsun . Torbada 4 tane beyaz bilye olduğundan,
    s( B ) = 4 tür. Buna göre;
    P( B ) s( B ) 4 1
    s( E ) 12 3 tür.


    ÖR:

    Bir çift zar, aynı anda masanın üzerine atılıyor. Üste gelen sayıların toplamının asal sayı olma olasılığı nedir?

    ÇÖZÜM:

    Evrensel kümenin eleman sayısı,

    s( E ) = 6 x 6 = 36 dır.

    Üste gelen sayıların toplamının asal sayı olma durumları;
    A = ( (1,1),( 1,2 ),( 2,1 ),( 1,4 ),( 4,1 ),( 1,6 ),( 6,1 ),( 2,3 ),( 3,2 ),( 2,5 ),( 5,2 ),( 3,4 ),( 4,3 ), ( 5,6 ),( 6,5 )}


    P( A ) s( A) 15 5
    s(E) 36 12 dir.




    AYRIK İKİ OLAYIN BİRLEŞMELERİNİN ( A VEYA B OLAYININ ) OLASILIĞI


    Ayrık olayların birleşimlerinin olasılığı, bu olayların olasılıkları toplamına eşittir.
    A n B = O =>
    P ( A U B ) = P ( A ) + P( B ) dir.



    ÖR:

    Bir torbaya aynı büyüklükte 2 kırmızı, 3 sarı,4 mavi bilye konuluyor. Torbadan rasgele bir bilye çekilirse,çıkan bilyenin kırmızı veya mavi olma olasılığı nedir?

    ÇÖZÜM: Evrensel küme,

    E = ( k1,k2,s1,s2,s3,m1,m2,m3,m4 }ve s( E ) = 9 dur.
    Kırmızı bilyeler = A = ( k1,k2 }
    Mavi bilyeler = B = ( m1,m2,m3,m4 }
    A n B = O dir. Buna göre,
    P ( A U B ) = P( A ) + P( B ) yazılır.
    P ( A U B ) = 2 4 6 2
    9 9 9 3 bulunur.



    AYRIK OLMAYAN İKİ OLAYIN BİRLEŞİMLERİNİN (A VEYA B OLAYININ )
    OLASILIĞI



    Ayrık olmayan iki olayın birleşimlerinin olasılığı, bu olayların ayrı ayrı olasılıkları toplamından kesişimlerinin olasılığının farkına eşittir.

    A n B = O => ,

    P ( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A n B ) dir.

    ÖR:

    Bir torbaya 1’den 9’a kadar numaralanmış aynı büyüklük ve özellikte 9 top konuyor. Torbadan rasgele bir top çekiliyor. 4’ten büyük veya tek numaralı bir topun çıkma olasılığı nedir?



    ÇÖZÜM:Evrensel küme
    E = ( 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
    s( E ) = 9 dur.

    Tek numaralı bilyenin çıkması olayı;
    A = ( 1,3,5,7,9 }, s( A ) = 5 ’tir.

    4 ten büyük numaralı bilyenin çıkması olayı;

    B = ( 5,6,7,8,9 }, s ( B ) = 5’tir.
    A n B = (5,7,9 }, s ( A n B ) = 3’tür.


    P( A ) = 5 P ( B ) = 5 P( A n B) = 3
    9 9 9 dur.

    Buna göre,


    P( A u B ) = P( A ) + P( B )- P( A n B )
    = 5 + 5 - 3
    9 9 9
    = 7
    olur.




    BAĞIMSIZ OLAYLARIN BİRLİKTE OLMA ( A VE B OLAYININ ) OLASILIĞI


    İki veya daha çok olayın gerçekleşmeleri birbirine bağlı değilse böyle olaylara “ bağımsız olaylar” denir.
    Bağımsız olayların birlikte olma olasılığı bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir.


    P( A ve B ) = P( A n B ) = P( A ) . P( B ) dir.

    ÖR: Bir okulun birinci sınıfında 12 erkek ve 8 kız, ikinci sınıfında 6 erkek ve 12 kız öğrenci vardır. Her iki sınıftan da rasgele seçilen birer öğrencinin ikisinin de kız öğrenci olma olasılığı nedir?
    sınıftan seçilen öğrencinin kız öğrenci olması olayı A =>
    P( A) = s( A ) 8 2
    s( E ) 20 5 tir.
    sınıftan seçilen öğrencinin kız öğrenci olması olayı B =>
    P( B ) = s( B) 12 2
    s( E ) 18 3 tür.
    P( A n B ) = P( A ) . P( B )
    = 2 . 2 4
    5 3 15 olur.
     
  2. CreaTioN

    CreaTioN Tanınıyorum rank8

    Kayıt:
    16 Ekim 2007
    Mesajlar:
    334
    Beğenilen Mesajlar:
    0
    Ödül Puanları:
    0
    Şehir:
    Fazla Merak İyi Deil...
    bilgi için saol :)) extraokk extrabeer extrabeer