1. Reklam


    1. joysro
      ledas
      jungler
      keasro
      zeus
      karantina

Matematiksel mantık


  1. Unforgiven

    Unforgiven Buralıyım rank8

    Kayıt:
    13 Temmuz 2009
    Mesajlar:
    3.605
    Beğenilen Mesajlar:
    0
    Ödül Puanları:
    0
    Çağdaş mantığın ve çağdaş felsefenin kurucusu Alman mantıkçısı Gottlob Frege, "Matematik mantığın uygulama alanıdır" görüşünden hareketle matematiğin, mantığın aksiyomatik sistemi üzerine kurulabileceğini düşünmüştür. Bu düşünceden hareket ederek aritmetiğin temelleri konusundaki felsefi çalışmaları için bir mantık sistemi geliştirmişti.Çağdaş mantığın ve çağdaş felsefenin kurucusu Alman mantıkçısı Gottlob Frege, "Matematik mantığın uygulama alanıdır" görüşünden hareketle matematiğin, mantığın aksiyomatik sistemi üzerine kurulabileceğini düşünmüştür. Bu düşünceden hareket ederek aritmetiğin temelleri konusundaki felsefi çalışmaları için bir mantık sistemi geliştirmişti.

    Daha sonra, Frege'nin çalışmalarına dayanarak, Russell ve Whitehead 1910-1913 yılları arasında Principia Mathematica adını verdikleri eserde matematiği mantığa indirgeyerek formel bir sistem haline getirmeye çalıştılar. Fakat matematiğin formel hale getirilemeyeceğini Gödel 1933'te yayınladığı bir kitabındaki (Über die unentsheidbare Saetze der Principia Mathematica und verwander Systeme) meşhur teoremiyle gösterdi.

    Alan Robinson, 1967'de çözülüm teorem ispatlama yöntemini geliştirdi. Bu yöntem 1972'de A. Colmaurer tarafından ilk mantık programlama dilinin (Prolog) geliştirilmesine yol açtı. Bu dil 1975'te D. Warren tarafından “Warren Abstract Machine” (WAM) olarak ugulandı. Kişisel bilgisayarlar üzerinde ilk uygulamalar 1980'lerde ortaya çıktı.

    Daha sonra, Frege'nin çalışmalarına dayanarak, Russell ve Whitehead 1910-1913 yılları arasında Principia Mathematica adını verdikleri eserde matematiği mantığa indirgeyerek formel bir sistem haline getirmeye çalıştılar. Fakat matematiğin formel hale getirilemeyeceğini Gödel 1933'te yayınladığı bir kitabındaki (Über die unentsheidbare Saetze der Principia Mathematica und verwander Systeme) meşhur teoremiyle gösterdi.

    Alan Robinson, 1967'de çözülüm teorem ispatlama yöntemini geliştirdi. Bu yöntem 1972'de A. Colmaurer tarafından ilk mantık programlama dilinin (Prolog) geliştirilmesine yol açtı. Bu dil 1975'te D. Warren tarafından “Warren Abstract Machine” (WAM) olarak ugulandı. Kişisel bilgisayarlar üzerinde ilk uygulamalar 1980'lerde ortaya çıktı.

    Önermeler Mantığı

    Formel sistemler şu elemanlardan meydana gelir:

    1. Tanımlanmamış terimler
    2. Tanımlar
    3. Türetme kuralları
    4. Aksiyomlardır
    5. Teoremler

    Formel mantığın tanımlanmamış terimleri olarak, basit önerme (P) ve mantıksal bağlar (değil, ve, veya, eğer-ise, eğer ve ancak-ise) gösterilebilir.

    Tanımlanan terimlere örnek olarak bileşik önerme kavramını gösterilebilir. Aslında yukarıda verilen mantıksal bağlar bir tek mantıksal bağ yardımıyla tanımlanabilir.

    Önerme

    Aşağıdaki cümleler önermelere örnektir:

    Bugün hava güneşlidir.
    3 asal sayıdır.
    Duygu 21 yaşındadır.
    3 asal sayı değildir.
    Duygu 21 yaşında değildir.
    Bir gün 24 saattir. sıfır doğal sayıdır

    Mantıksal bağlar kullanarak basit önermelerden başka önermeler kurulabilir, ki bunlara “bileşik önermeler” denir.Önerme matematikte kesin bir hüküm bildiren ifadelere denir.

    Olumsuzu

    Bir önerme “değil” eki ile karşıt ifadeye çevrilebilir; buna değilleme denir.

    Bir hafta 7 gün'dür. Bir hafta 7 gün degildir.

    Birleşim

    İki veya daha fazla önermeden “ve” mantıksal bağını kullanarak bileşik önermeler kurulabilir. Örnek olarak: “Bu gün hava açık ve sıcak” cümlesini verilebilir. Doğal dilde bazen “fakat” bağlacını da kullanıyoruz.

    Örnek: “bugün gemiler 9'da ve 10.da sefer yapacak.” değili P' olarak gösterilir.

    Ayrılım

    İki veya daha fazla basit önermeden “veya” (ya da) mantıksal bağını kullanarak bilesik önermeler kurulabilir.

    Örnek: “Bugün Bursa veya İstanbul ziyaretçiler gelecek.”

    Şartlı Cümle

    Aynı şekilde, iki veya daha fazla sayıda önermeden (eğer-ise) bağını kullanarak şartlı önermeler kurulabilir.

    Örnek: “Eğer yağmur yağıyor ise, hava bulutludur.”

    Bazen “eğer-ise” bağı yerine doğal dilde “gerektirir” bağını da kullanabiliyoruz.

    Örnek: “Yağmurun yağıyor olması havanın bulutlu olmasını gerektirir.

    Ancak ve Ancak

    Yine, “eğer ve ancak-ise” bağını kullanarak birden fazla önermeden çift şartlı önermeler kurulabilir. Bu tür önermeler doğal dilde daha az kullanılmasına rağmen, fizik ve matematikte sık sık kullanılmaktadır.

    Örnek: “Eğer ve ancak çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez.”

    Aynı cümle şu şekilde de ifade edilebilir: “Eğer, çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez, ve eğer enflasyon düşmezse çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederler.”

    Cebirde olduğu gibi, sembolik veya matematiksel mantıkta da, önermeler yerine önermesel değişkenler kullanılır (P, Q, R, S, T harfleri gibi).

    Mantıksal bağlar

    Mantıksal bağlar aşağıdaki sembollerle gösterilir;

    ' : değil
    ˄ : ve
    ˅ : veya
    → : ise
    ↔ : ancak ve ancak

    [​IMG][​IMG][​IMG][​IMG]

    Örnek: "Eğer sendika veya fabrika yöneticileri inada devam ederlerse, grev ancak hükümet bir kararname çıkarır ve fabrikaya polis göndermezse önlenir."

    P: Sendika inada devam eder
    Q: Fabrika yöneticileri inada devam eder
    R: Grev önlenir
    S: Hükümet kararname çıkartır
    T: Hükümet fabrikaya polis göndermez

    [​IMG]

    Doğruluk ve Cetvelleri

    Mantıkta önermeler doğru ya da yanlış olabilir, fakat hem doğru hem yanlış olamaz. Bir önermeye yüklenen bu “doğru” ve “yanlış” yüklemlerine onun “doğruluk değeri” denir.

    Buna göre, şimdi şu önermesel formüllerin doğruluk değerlerini irdeleyelim:

    [​IMG][​IMG][​IMG][​IMG]

    “Değil” sözcüğünün anlamından hareketle, eğer bir P önermesi doğru ise onun değillemesi, [​IMG] yani yanlıştır, ve bunun tersi. Mesela, P önermesi “Ay dünyanın uydusudur” cümlesi yerine geçiyorsa, bunun değillemesi olan [​IMG] P yanlıştır.

    Gene, kural olarak iki veya daha fazla önermenin birleşimi, ancak birleşen bütün önermelerin doğru olması halinde doğrudur. Mesela, “3 asal sayıdır ve 2+2=5'tir” yanlış bir bileşik önermedir.

    Yine kural olarak, ayrık önermelerin doğru olabilmesi için bileşenlerden birinin doğru olması yeterlidir. Ayrık önermeler ancak bunları meydana getiren bileşenlerin hepsinin birden yanlış oldugu halde yanlış sayılır.

    Bileşik önermeler için doğruluk tabloları şu şekilde verilebilir:

    [​IMG]

    Eşdeğerlikler

    [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG]

    Karşıtlıklar

    [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG]

    Totoloji
    Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler “doğru” çıkıyorsa, bu önermesel formüle “totoloji” denir.

    Çelişki
    Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler “yanlış” çıkıyorsa bu önermesel formüle “çelişki” denir.

    Bazen doğruluk
    Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki değerlerden bazıları “doğru” bazıları “yanlış” çıkıyorsa bu önermesel formüle “bazen doğru” denir.

    Tutarlılık
    Bir bileşik önermeye “ve” ekiyle başka bir önerme eklendiği zaman bir çelişki ortaya çıkmıyorsa, eklenen önerme öncekiyle tutarlıdır denir.

    Geçerlilik
    Bir A1, A2, ..., An önerme dizisindeki bütün A’lar doğru olduğu zaman bir B hükmü de doğru oluyorsa B’ye A1, A2, ..., An önermelerinin geçerli sonucudur denir. Geçerlilik şu şekilde gösterilir:

    A1, A2, ..., An |= B.​

    Mantıksal İçerik
    Bir bileşik önermeyi yanlış yapan şartların sayısının bütün şartların sayısına oranı ne kadar büyükse, o önermenin mantıksal içeriği o kadar fazladır. Çelişkinin mantıksal içeriğinden bahsedilemez (çünkü yoktur.).(-->bu durumda çelişki için mantıksal içerik 1/1 olması beklenir. Buna göre ilk cümle ile bahsedilen tanım tersi olarak düşünülmesi gerekmektedir.

    Yüklemeler mantığı

    Önermeler mantığının türetim kuralları matematik için yeterli olmadığı gibi gündelik dil için de yeterli değildir. Mesela, klasik mantıkta "Her asal sayı bir doğal sayıdır" ve "3 asal sayıdır" öncüllerinden, "3 doğal sayıdır" sonucunu çıkarabiliyoruz. Fakat bu akıl yürütmenin doğruluğu, önermeler mantığının kuralları çerçevesi içinde kanıtlanamaz. Bunun nedeni de şudur: Önermeler mantığı bileşik önermeler içindeki basit önermeler arasındaki mantıksal bağlara ve basit önermelerin doğruluk değerlerine göre bileşik önermelerin doğruluklarını inceler. Diğer bir deyişle, önermeler mantığı bir önermeyi birçok maksat için yeterli ayrıntıda analiz etmez.

    İşte, terimler, yüklemler ve niceleyiciler diye isimlendireceğimiz mantıksal kavramlar yardımıyla gündelik dili ve matematiğin dilini büyük ölçüde sembolize edebiliriz.

    Yüklemler mantığında da aynı matematikte olduğu gibi, sabitler ve değişkenler kullanılır. Biraz önce bahsedilen "terimleri" iki sınıfa ayırabiliriz: Bireysel değişkenler, bireysel sabitler. Bireysel sabitlere örnek olarak birey olduğunu bildiğimiz varlıkları sayabiliriz: “Gökhan”, “Tekir”, “gül” gibi. Bunlar yerine de “insan”, “hayvan”, “bitki” kavramlarının çerçeveleri içinde olmak üzere x, y, z, değişken sembollerini kullanabiliyoruz.

    Matematikte değişkenler genellikle sayılar veya fonksiyonlar olabilir. Yüklemler mantığında ise bireysel terimler değişken olabildiği gibi, yüklemler de sabit veya değişken olabilir. Yüklemsel sabitlere örnek olarak önermeler içinde yer alan yüklemleri gösterebiliriz: “sayı”, “meyve”, “uydu”, “sert” gibi. Buna göre,

    7 bir asal sayıdır.
    Elma bir tür meyvedir.
    Miranda, Neptün'ün uydusudur.
    Demir sert bir metaldir.

    ...cümleleri içinde "7", "elma", "Miranda", "Neptün" ve "demir" bireysel sabitler, “asal sayı, “meyve”, “uydu” ve “sert metal” de yüklemsel sabitlerdir.

    Yüklemsel ifadelerde yüklemler yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi bir veya iki terimli (veya argümanlı) olabildiği gibi, daha fazla sayıda argüman da içerebilirler. Mesela: “Beril, Akın ve Şebnem'nin önünde oturuyor” dediğimiz zaman, burada “önünde oturuyor” ifadesini yüklem olarak; Beril, Akın ve Şebnem isimlerini de bireysel sabitler olarak almış oluyoruz.

    Yüklemsel ifadeler yüklemin aldığı terim sayısına göre şu genel biçimlerde gösterilebilirler:

    P(a), Q(b,c), R(d,e,f), ...

    Bu ifadelerde, hemen görülebileceği gibi, bireysel sabitler yerine x, y, z gibi değişkenler koyarsak,

    P(x), Q(b,y), R(z,e,f)

    ...gibi değişken terimli yüklemsel ifadeler elde ederiz.
     
  2. go4way

    go4way Keşfediyorum rank8

    Kayıt:
    14 Mayıs 2009
    Mesajlar:
    38
    Beğenilen Mesajlar:
    0
    Ödül Puanları:
    0
  3. Temet Nosce

    Temet Nosce   globalmod rank8

    Kayıt:
    24 Ocak 2009
    Mesajlar:
    3.301
    Beğenilen Mesajlar:
    13
    Ödül Puanları:
    38
    Meslek:
    Öğrenci
    Şehir:
    Boston/Massachusetts
    Hacım bu konu kolay ( genel görüş ) fizik den yardımın olursa sevinirim